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Il Covile - N.o 458 (13.8.2008) Buon Ferragosto con i numeri di Enrico Delfini

Buon Ferragosto


Ancora un numero un po’ speciale. È Enrico Delfini, appassionato al tema da anni, che lo ha preparato per noi durante le sue recenti vacanze dolomitiche. Ho aggiunto in fondo un brano, messo da parte anni fa, che mi sembra venire a proposito. Buon Ferragosto a tutti
 

Nascita dei numeri (di Enrico Delfini)


Ad un uomo adulto del XXI secolo, cresciuto in un mondo civilizzato, l’esistenza dei numeri appare scontata.
E quando diciamo “numero” , per noi il concetto di numerosità, la parola che usiamo per esprimerla, e il segno grafico che la identifica, sono entità praticamente sovrapponibili.
Ma forse le cose non sono così semplici.
Senza pretesa di completezza, e senza potermi considerare realmente competente, mi limiterò a qualche considerazione sulla “nascita dei numeri”, spaziando impudentemente dalla neurologia alla paleo-antropologia, dalla storia alla sociologia.

 

Animali che contano


Quando si legge di “animali che sanno contare”, si è portati a pensare all’ennesimo cavallo o cane sapiente, che batte la zampa e sa calcolare somme, moltiplicazioni, talvolta anche radici quadrate. Le poche volte che sono stati esaminati seriamente, questi fenomeni sono sempre risultati essere dei simpatici trucchi.
Però è vero: molti animali sanno contare; o meglio, hanno la capacità di riconoscere quantità diverse.
Piccioni, corvi, scimmie, delfini, e altre specie sono stati esaminati in modo accuratissimo; il dato pressoché univoco che se ne può ricavare è che molti animali sono in grado di riconoscere il più numeroso tra due gruppi di oggetti che vengono loro presentati (talvolta anche con l’uso di schermi di computer per evitare possibili contaminazioni o sovrapposizione di messaggi).
La spiegazione di questa dote, nel solco della teoria darwiniana della sopravvivenza del più adatto, è questa: nella ricerca di cibo, saper capire quale cespuglio è più ricco di bacche permette di ottimizzare i tempi e gli sforzi. E anche: comprendere che il gruppo di rivali che si sta avvicinando minaccioso è più numeroso del nostro, consente una utile ritirata strategica.
Questa seconda “abilità” è stata studiata a fondo nei grossi felini, e si è constatato che, ad esempi, un gruppo di tre leonesse cui vengono fatti udire, di notte, i ruggiti di due o quattro loro simili (senza che possano vederli) è in grado di prendere la decisione “giusta” con altissima frequenza.
Nella scelta tra due insiemi di oggetti (che siano bocconi di cibo, o punti sul monitor del computer, è lo stesso), si è appurato che -come era ragionevole attendersi- questo senso della numerosità funziona meglio quando la differenza tra le due quantità da confrontare è più marcata. Quando, ad esempio, un piccione deve scegliere tra una ciotola con tre chicchi di cibo e una con nove, la reazione è più veloce, ed è corretta in una percentuale molto più alta, di quando le quantità sono quattro e sei. E la risposta è, come prevedibile, neutra nel caso di due ciotole con undici e dodici bocconi.
Lo stesso pattern di risultati si ottiene anche con l’uomo. Con due particolarità: la prima è che, quando entrambe, o anche una sola delle quantità da esaminare è inferiore o uguale a quattro, la risposta è pressoché istantanea, per poi allungarsi progressivamente.
Ma la cosa più interessante è in relazione all’aumento del tempo di risposta che si osserva quando la distanza tra le due grandezze è più piccola. Come il piccione di prima, l’uomo è più rapido a scegliere tra cinque e nove oggetti, che non tra sette e otto. Certo l’uomo sa fare di meglio, e, con un po’ di pazienza, è capace anche di riconoscere che quarantasette oggetti sono più di quarantacinque. Ma, sperimentando con l’uomo, si è andati oltre; mentre fin qui, si parlava di esperimenti in cui si confrontavano due “numerosità”, ovvero due insiemi di oggetti o di segni, ai nostri simili è stato riproposto il test, mostrando, su due schermi, i numeri scritti in cifre. Anche con numeri semplici, di una sola cifra, si è visto che la reazione per decidere tra 5 e 7 è più lenta di quando si deve scegliere tra 4 e 9.
E questo non era scontato né era stato previsto.
Quando furono pubblicate queste ricerche, alcuni professori di matematica del MIT di Boston, scettici di fronte ai risultati, si sottoposero al test: risultato confermato !
Anche chi ha estrema dimestichezza con i numeri, per eseguire questo semplice compito, pare che debba necessariamente far retrocedere i segni grafici numerici a quella sorta di archeo-aritmetica della numerosità di cui si servono i piccioni e gli scoiattoli....
 

Matematica e neonati


Esperimenti affascinanti (anche per la genialità e la fantasia di chi li ha progettati) sono stati compiuti su bambini piccolissimi, anche solo un paio di giorni dopo la nascita.
I ricercatori partirono dalla constatazione che è possibile registrare e quantificare il grado di “attenzione” di questi piccolissimi sperimentatori, usando telecamere ad alta definizione per seguire i movimenti oculari e appositi sensori collegati ad un ciucciotto. Di fronte ad immagini e situazioni nuove ed inedite, si registrava un aumento del succhiamento ed una fissazione dello sguardo; al contrario, quando lo scenario offerto era costante e monotono, l’attenzione diminuiva.
Ai bambini veniva mostrata, ad esempio, una palla rossa, che veniva poi deposta dietro un sipario, mentre il piccolo poteva vedere le varie manipolazioni. All’apertura del teatrino, il piccolo poteva vedere di nuovo la palla rossa. Dopo un certo numero di ripetizioni, come prevedibile, la cosa perdeva interesse; ma l’attenzione tornava alta se, aprendo il sipario, appariva una palla verde, o gialla.
Sono state indagate infinite varianti, con aggiunta e sottrazione di palle, bambole e oggetti vari; sempre i bambini mostravano di trovare anomale ed interessanti le situazioni che vanno contro la logica e l’aritmetica.
Ancora un esempio: si mostravano due bambolotti, poi si schermava il teatrino; a questo punto si faceva vedere che veniva aggiunta una terza bambola dietro il sipario. All’apertura però, erano visibili solo due pupazzi, perchè uno era stato fatto sparire in modo nascosto. La cosa suscitava subito l’interesse del piccolo che, a quanto pare, sapeva che 2 + 1 fa 3, e non 2 !
Se ne può pertanto dedurre che, in un qualche modo, le addizioni e le sottrazioni -almeno fino a 3 o 4 - fanno parte del bagaglio neuronale matematico standard della nostra specie.
Questo limite di 3 ( o 4 ) è interessante almeno per un altro paio di motivi.
3 (o 4) è il limite fino al quale il conteggio di un insieme o di una serie di oggetti avviene in modo istantaneo, senza che sia necessario contare gli elementi ad uno ad uno. E questo limite è lo stesso per il professore di matematica, per l’alunno che sarà bocciato, e anche per i membri delle più arretrate tribù della Papua-Nuova Guinea.
E proprio i rappresentati di queste arretratissime culture (oltre ai Papuasi, certi Inuit, alcuni aborigeni australiani e sudafricani) , che fanno un uso davvero minimo dell’aritmetica, spesso non hanno nemmeno i vocaboli per denominare quantità superiori al 3 (o al 4).
Sembrerebbe, ancora una volta, che esista una “matematica di base”, limitata al 3 (o al 4), che è connaturata all’homo sapiens, quale che sia il suo sviluppo, sia personale che culturale.
 

Matematica nel neolitico


Facciamo ora un salto indietro nel tempo, fino a qualche decina di migliaia di anni fa. Immaginiamo di poter osservare i nostri antenati, magari ai tempi in cui vissero quei meravigliosi artisti, autori delle decorazioni nelle grotte di Lascaux ed Altamira.
Nulla sappiamo del loro linguaggio, e ancor meno della loro matematica. Sappiamo però che erano geneticamente uguali a noi; e, vedendo le loro realizzazioni artistiche, non è lecito avere dubbi.
Sono stati studiati i (pochissimi) reperti rinvenuti che potrebbero dirci qualcosa al riguardo (una dozzina forse di ossa incise, sparse tra Europa e Africa), e si è cercato di fare della paleo-antropologia sperimentale, analizzando le oramai poche tribù residue, le cui condizioni culturali possono in qualche modo essere paragonate a quelle del neolitico. La prima domanda da porsi è: in quelle civiltà a che cosa poteva servire saper contare ? Siamo in un’epoca anteriore alla domesticazione degli animali, per cui non vi era necessità di contare o controllare greggi e mandrie; non c’era commercio, se non forse forme rudimentali di baratto...
Le ipotesi più ragionevoli per un uso pre-istorico della matematica sono del tipo: “per prevedere fenomeni naturali come i cicli lunari o le mestruazioni” e “per contare gli elementi della tribù”.
Il metodo più semplice per fare conti utili in questi contesti, è purtroppo tale che non può aver lasciato nessuna traccia o reperto. Siamo pertanto nel regno delle pure supposizioni se immaginiamo una scena come questa: per contare la sua tribù il capo, o lo stregone, si lega in vita una corda cui sono appesi due sacchetti; in essi sono custoditi pietre, magari decorate, o noccioli di frutta. Uno per ogni individuo del branco. Sapendo che i sassolini corrispondono ai membri del clan, basta spostarli da un sacchetto all’altro a seconda che uno esca dall’accampamento o rientri, per avere una esatta “contabilità” della tribù. Ho detto “contare”, ma in realtà è qualcosa di molto diverso. Non c’è bisogno di dire “uno, due, tre,...trenta, trentuno...” la tribù è “come il sacchetto” e il sacchetto è “come la tribù”; non c’è bisogno di veri numeri e nemmeno di parole specializzate.
Senza numeri e senza parole specializzate, in effetti, “contano”, o contavano fino a pochi anni fa, quelle tribù citate prima, veri “fossili culturali”.
Solo un piccolo passo avanti contraddistingue altre popolazioni che, pur non avendo vocaboli speciali per i numeri (a parte 1, 2 e 3), sono in grado di contare facendo riferimento ad una successione standard di parti anatomiche.
Ad esempio, una tribù comincia ad enumerare gli elementi di un insieme, associando ad ognuno di essi, nell’ordine, il mignolo della mano destra, poi l’anulare, poi le altre dita, poi il polso, il gomito, la spalla, per proseguire con l’altro braccio. Gli indigeni Yupno, usando in modo appropriato i quattro arti, il volto, i capezzoli, l’ombelico e il pene, sono in grado di identificare fino a 33 numerosità distinte.
Essi non dicono però: “io ho 24 polli”, ma qualcosa del tipo: “i miei polli sono come occhio destro”.
E’ chiaro che possiamo solo fare supposizioni, ma è verosimile, e probabile, che per i membri di una tribù nomade o semi-nomade fosse di vitale importanza tener conto del ciclo delle stagioni, per trovarsi nella tal vallata nel periodo di maturazione di certi frutti, e spostarsi poi, dopo due lunazioni, in un’altra zona per intercettare le migrazioni periodiche delle mandrie di renne selvatiche o di altri animali.
Possiamo immaginare un membro anziano e autorevole del clan, che (in modo simile all’esempio fatto prima) porta dei sacchetti allacciati in vita, o magari delle collane in cui infilare conchiglie forate. Ogni notte che la luna appare piena in cielo, egli sposta un sassolino, o una conchiglia da un sacchetto o da una collana all’altra. Egli sa (glielo ha tramandato il vecchio nonno prima di morire) che quando i sassolini da una parte sono pari alle dita di una mano, è il momento della pesca dei salmoni, che quando ne resta uno solo è l’epoca delle fragole e dei lamponi, e quando sono tutti a destra, è il momento di levare il campo per giungere in alto, tra quelle due montagne dalla forme strana, dove passeranno, come fanno da tempo immemorabile, migliaia di animali, possibili prede.
Una corda, due sacchetti, tredici conchiglie (ma nessuno sa che sono “tredici”) : è suggestivo immaginare così la nascita dell’aritmetica preistorica.
 

Che il numero cominci !


Circa diecimila anni fa, da qualche parte in Mesopotamia (e forse nella valle dell’Indo) nascono le prime città; e con le città sorgono attività come il culto, la costruzione di altari e di altri edifici, il commercio, il controllo delle piene e dell’irrigazione...
Anche se di questi avvenimenti abbiamo progressivamente sempre più prove e reperti archeologici, molto rimane ancora estremamente vago, almeno fino all’epoca -ma ci vorrà qualche migliaio di anni- in cui iniziò qualche forma di scrittura. E si passò dalla preistoria alla storia.
Di alcuni popoli (Sumeri, Ittiti, Egizi,...) abbiamo una discreta conoscenza, frutto di un paio di secoli di scoperte e di studi. Di altre la documentazione disponibile è molto più scarsa e più difficilmente studiabile (civiltà degli altopiani iranici, civiltà di Harappa, la Cina...); in alcuni casi gli studi sono iniziati da pochi decenni, o anche solo pochi anni, con enormi difficoltà di ogni tipo, non ultime le situazioni geopolitiche in molte aree del vicino e medio Oriente.
Affascinanti e promettenti sono gli studi sulla civiltà sorta nella valle dell’Indo, decaduta e scomparsa all’inizio del secondo millennio A.C. Si estese su un’area di centinaia di migliaia di chilometri quadrati, con città ricche e popolose (la più nota è Harappa); Non avendo lasciato documenti scritti decifrabili, è molto difficile capire la vita di popoli vissuti quattromila e più anni fa.
Ma una delle cose più interessanti che si sono scoperte su questa civiltà, riguarda i mattoni cotti, con cui sono costruiti gli edifici, le mura e i templi. Anche se le dimensioni dei singoli manufatti sono diverse caso per caso, sembra che tutti i mattoni siano caratterizzati da un rapporto costante in ragione di 4:2:1 tra lunghezza, larghezza ed altezza.
Ciò dimostra un livello di conoscenze aritmetiche e geometriche sofisticato ? E se sì, quanto ?
Restando su esempi in qualche grado più familiari, possiamo cercare di immaginare i problemi che si presentavano agli scribi dell’Egitto o della Mesopotamia. Della loro attività ci restano migliaia di papiri e di tavolette di terracotta incise. In alcuni casi, intere biblioteche e archivi che hanno sfidato i secoli e che sono state, e sono tuttora, al vaglio di archeologi e di studiosi di altre discipline. La grande difficoltà di questi studi è insita nella necessaria multidisciplinarità delle conoscenze richieste. Purtroppo è difficile che un archeologo, anche brillante e geniale, abbia dimestichezza con la cultura matematica; ed è ancora più difficile che un matematico abbia la predisposizione e la voglia di decrittare pochi incerti segni su qualche tavoletta da scovare tra migliaia e migliaia di simili, sotto il sole in qualche sperduta valle dell’Iraq, o negli scantinati di qualche museo.
Un esempio classico, spesso portato a spiegazione della nascita della geometria, è collegato al regime delle piene del Nilo. Ogni anno, le periodiche inondazioni coprivano vastissime aree di campagna coltivata sotto uno spesso strato di limo. Era indispensabile, al ritiro delle acque, poter ricostruire la topografia delle varie proprietà, ridisegnando i confini. Problemi di divisione di appezzamenti terrieri, dovevano essere frequenti anche in caso di eredità o di costituzione di dote, in caso di matrimoni.
E poi, il commercio e la logistica militare e civile. Costituire adeguate scorte e approvvigionamenti proporzionati ai bisogni di eserciti o di masse di operai (forse decine di migliaia di individui !) non è nemmeno immaginabile senza una matematica formalizzata e non più elementare.
Gli scambi commerciali e la gestione dei magazzini furono certamente la spinta principale all’affermarsi di una vera e propria casta professionale (gli scribi) in grado di padroneggiare conoscenze e tecniche di calcolo.
Cerchiamo adesso di immaginare un produttore agricolo, o il direttore di un magazzino periferico di raccolta, che deve mandare un carico di anfore piene d’olio alle cucine del Faraone, o del tempio di Ur. Quante sono le anfore? Non esistono ancora i numeri: che fare ?
La soluzione pare essere stata questa: per ogni anfora caricata sul carro, si modella un qualche piccolo oggetto di creta cotta al sole (immaginiamo qualcosa di simile ai segnaposto del monopoli): un piccolo cono per ogni anfora d’olio, una pallina tonda se si tratta di pecore, un fiasco stilizzato per il vino, e via così... I piccoli coni -uno per ogni anfora d’olio- vengono racchiusi in un involucro di creta, che viene poi chiuso e cotto al sole. Chi riceve il materiale, per sapere se la quantità è giusta, rompe il sacchetto di coccio, e controlla che i piccoli coni corrispondano alle anfore giunte a destinazione. Per evitare contraffazioni, il mittente imprime sull’involucro ancora tenero il suo sigillo.
Col tempo, per facilitare il lavoro, sull’involucro si iniziò a imprimere anche qualcosa che indicasse il contenuto, senza necessariamente dover rompere il “documento di viaggio”. Ad esempio, risultava utile premere leggermente sull’esterno del sacchetto ogni cono-anfora prima di sigillarlo; ciò rendeva possibile conoscere “a scatola chiusa” tipo e quantità degli oggetti racchiusi all’interno del sacchetto-documento.
Da lì a capire che i coni e l’involucro potevano essere sostituiti da una semplice tavoletta con opportuni simboli incisi, il passo appare breve, ma di certo richiese un atto di fantasia e di apertura al nuovo, decisamente fuori dal comune.
Ancora non siamo arrivati ai numeri., ma abbiamo un simbolo (sassolino, cono, impronta...) per ogni oggetto da contare; se possiamo usare questo verbo.
Un certo giorno, il nostro scriba geniale e innovatore (in realtà un suo collega qualche secolo dopo) fa un altro passo avanti: se il carro standard addetto ai trasporti era, ad esempio, in grado di trasportare venti anfore, perché registrare venti elementi-anfora, e non un solo elemento-carro, di ordine superiore ? E così fece, inventando un nuovo simbolo, o meglio adattando ad un nuovo significato un simbolo preesistente..
Segni grafici con significato “plurale”, spesso ispirati alla mano (cinque), talvolta di ordine dieci o venti, appaiono progressivamente in varie culture. Anche il dodici e il sessanta, ebbero, specie in mesopotamia, il loro momento di gloria (che in realtà giunge fino a noi, quando si tratta di misurare angoli, o minuti e secondi...).
Questo fondamentale passo avanti culturale è stato concepito, a quanto risulta, pochissime volte nel corso della storia. Sicuramente in Medio Oriente, in Cina e in CentroAmerica, con poche varianti sostanziali.
Trattandosi di uno strumento estremamente pratico e potente, l’uso di questa notazione si diffuse in modo rapido in tutto il mondo che, all’epoca, poteva dirsi civilizzato.
 

Numeri e cultura


Siamo dunque giunti al “numero” come lo conosciamo e come lo consideriamo oggi? In effetti manca ancora un piccolo passo.
Quando esaminava la sua partita di anfore d’olio, il nostro amico scriba, non contava “uno, due, tre...”, ma diceva: “anfora, anfora, anfora,...” marcando un segno per ogni oggetto; senza bisogno di veri e propri numeri. Anche il simbolo del carro, equivalente a venti anfore, restava sostanzialmente un carro; solo in un preciso particolare contesto, poteva valere anche “venti anfore d’olio”. Era ancora qualcosa ben diverso da ciò che noi pensiamo quando diciamo “20”. Per noi è naturale considerare “20” una quantità astratta, una numerosità che possiamo associare indifferentemente a bottiglie, persone, pensieri, fette di salame...
Questa “neutralizzazione” dei numeri passa necessariamente attraverso l’adozione di parole e simboli propri per ogni quantità.
Linguisti e glottologi hanno studiato in modo comparato i fonemi usati in varie lingue per indicare i numeri; in particolare da 1 a 10. Se ne è dedotto che, a parte la Cina, e il centroAmerica, tutte le lingue indo-europee si rifanno a solo due archetipi. E’ affascinante constatare che in moltissimi idiomi la parola che indica “9” contiene il suono “N”; che al “3” si associa la “T”, al “2” il suono “D”....
Ciò sarebbe la prova che anche questa formidabile invenzione, le parole-numero, è avvenuta, nella storia dell’uomo, solo pochissime volte.
 
Che il riconoscimento del carattere astratto dei numeri sia qualcosa di straordinario, di non automatico, lo dimostra la difficoltà con cui questo concetto viene appreso, e il tempo necessario per riuscire a gestirlo in modo proprio.
Prendiamo un bambino di tre anni: padroneggia un patrimonio di varie centinaia di vocaboli, usa le concordanze di numero e di genere, i tempi dei verbi... senza che nessuno glieli abbia insegnati in modo formale.
Sa anche recitare a memoria la sequenza “uno, due, tre...” ma non ha certo nella mente il concetto di numero.
Verso i quattro anni, se gli si fa vedere un gruppo di cinque soldatini a cavallo, e lo si invita a contare i cavalieri, è possibile che agisca correttamente, arrivando a “cinque” mentre indica il soldatino più a destra. “Allora, quanti sono?” Ci vuole tempo, e molta pazienza, perché impari che il “cinque” affibbiato all’ultimo soldatino ha a che fare con la numerosità complessiva dell’insieme. Se glieli facciamo contare in ordine inverso, si stupirà vedendo che quello che era “uno” è adesso diventato “cinque”. Arriva comunque il momento in cui avrà compreso che i soldatini sono sempre cinque, a prescindere dall’ordine in cui li conta. A questo punto, potremo chiedergli: “e i cavalli, quanti sono?” Lo vedremo ricominciare a contare!
E’ questo il passaggio logico più lungo e difficile da assimilare; ma piano piano, a forza di parlare di 5 soldati, 5 cavalli, 5 dita, 5 alberi, 5 amichetti...ad un certo punto, verso i sei-sette anni, il numero diventa un concetto astratto.
Nella propria infanzia, ogni cucciolo di homo sapiens ripercorre le tappe che le grandi civiltà del passato hanno percorso nei secoli.
 
C’è un interessante residuo di un’epoca in cui le parole-numero avevano un senso solo in relazione ad uno specifico tipo di oggetti da contare; è una sorta di archivio lessicale fossile che resiste in quasi tutte le lingue del mondo.
In quasi tutte le lingue del mondo, infatti, esistono parole-numero diverse dai canonici “uno,due,tre...”, che si riferiscono, o almeno si riferivano, solo ad un determinato tipo di oggetti.
In italiano, “paio”, “coppia”, “pariglia”, sono alcuni esempi di “due specializzato”; mia nonna, toscana, diceva “serqua” per dire dodici, ma solo se si trattava di uova; “centuria” vale cento, ma solo in caso di legionari...
In inglese, lingua ricchissima di sinonimi, e di apporti lessicali esterni, gli esempi sono tantissimi; non ho trovato il vocabolo esatto, ma ho letto da qualche parte che esiste un vocabolo apposta, per indicare “due” nel caso particolare che si stia parlando di un particolare tipo di uccelli (non ricordo se due pernici o due galli cedroni)...
 
Gli storici della scienza, e della matematica in particolare, studiano da tempo, con risultati contrastanti, lo sviluppo delle conoscenze e delle tecniche aritmetiche, geometriche, via via fino alla trigonometria, al calcolo infinitesimale e alle teorie dei numeri. E’, come già accennato, un compito difficilissimo; negli ultimi decenni si è fatta strada la consapevolezza che la visione europocentrica, sviluppatasi nel XIX secolo,è limitata e carente. Anche allargando il concetto di Europa al vicino Oriente, all’Egitto e all’Islam medioevale, non è possibile avere una visione obiettiva del percorso della conoscenza senza approfondire la matematica cinese e indiana.
Di tutti i progressi compiuti — e senza voler affrontare argomenti troppo tecnici come il calcolo infinitesimale, o la soluzione delle equazioni di terzo e quarto grado — due acquisizioni in particolare sembrano importanti.
Oggi sono così compenetrate nella nostra idea di matematica, e di cultura in generale, che stentiamo a immaginare un mondo senza lo zero e senza il valore posizionale delle cifre.
Gli antichi Greci e gli antichi Romani sono stati certo dei grandi in tante discipline, e hanno lasciato innegabili prove di ciò, nella letteratura, nell’architettura, nella politica e nella legislazione, nell’arte militare, e nella costruzione di strade e di acquedotti... ma avete mai provato a fare un po’ di conti coi numeri romani ? O anche solo a leggere rapidamente una data ? (i greci non stavano meglio: usavano le lettere dell’alfabeto al posto delle cifre).
Usare la stessa cifra, lo stesso segno grafico, per indicare entità differenti, una multipla dell’altra, in modo che il valore di ogni cifra che appare in un numero sia stabilito dalla sua posizione, ci sembra tanto semplice e ovvio, che occorre molta fantasia per immaginare un mondo diverso.
Perché funzioni un sistema posizionale (non necessariamente decimale, come il nostro), serve un modo per significare “nessun elemento in questa casella”: serve lo “zero”.
Se devo scrivere “duecentotre”, posso ricorrere (alla romana) a due segni che indicano ognuno “cento” a cui avvicino tre segni da “uno”: CCIII. Mi occorrono perciò tanti segni differenti per ogni classe di grandezza successiva, per le migliaia, le decine di migliaia, e così via... Col sistema posizionale uso solamente le cifre dall’1 al 9; per dire “duecentotre” mi serve un due ad indicare le centinaia e un tre ad indicare le unità. Il problema è che, se li accosto semplicemente uno all’altro, ottengo 23. Devo far capire a chi legge che il 2 indica le centinaia, mentre il posto delle decine è deserto.. Ma come può esistere una cosa — lo zero — che per definizione significa “non esistenza” ? Dargli dignità di cifra al pari delle altre, farlo partecipare ai conteggi, per molti secoli è stato considerato impossibile, o meglio, impensabile: un vero tabù.
Intendiamoci, non che i matematici assiri, greci egizi, fossero degli stupidi. Essi, che usavano una sorta di scrittura numerica posizionale, escogitarono e misero in uso una serie di artifici (apici, puntini, e altro) per riuscire a far capire che si parlava di 203, e non di 23. Con risultati tutto sommato non disdicevoli, se guardiamo che cosa sono riusciti a costruire, e se pensiamo a Pitagora, Archimede, Eucllide, Aristarco, Tolomeo....
Ma lo zero come cifra a pieno titolo, no! Ironia della storia: il termine “zero” prende origine dall’arabo “sifr”, che è la stessa radice da cui discende “cifer”, “cifra”.
Come è noto, furono gli Arabi a far conoscere in Europa lo Zero, e le cifre cosiddette arabe, che in realtà sono un frutto della matematica indiana, anch’essa arrivata fino a noi attraverso gli studiosi e i commentatori arabi.
Meno nota è la figura di Gerberto di Aurillac, monaco francese di cultura sterminata, fondatore di monasteri, che salì al soglio papale col nome di Silvestro, proprio a cavallo dell’anno 1000. E fu proprio questo papa matematico uno dei più fervidi sostenitori dello zero, nel dibattito culturale europeo.
Le cifre “arabe” si affermarono, negli ultimi secoli del medioevo, sull’onda degli scambi commercialli. Anche se la superiorità tecnica e pratica di tale notazione era evidente, il processo fu lento e non privo di resistenze. Ancora nella Firenze del 1400, il loro uso nelle fatture e nei documenti ufficiali era proibito, per il rischio di contraffazione.
Quanto sia difficile superare certe abitudini e convinzioni, lo dimostra anche la difficoltà con cui l’Europa accettò l’esistenza e l’uso dei numeri negativi, da molti autorevoli matematici negati a priori ancora nel XVII secolo. (come avranno fatto a tenere i registri delle banche, resta per me un mistero...).
Come ultima curiosità, vale la pena pensare ai segni “+, -, x, :,= “ nonché all’uso dei segni di radice e degli esponenti per le potenze. Questi accessori, che ci sembrano indispensabili per scrivere un’equazione, una formula, e per fare le più semplice operazioni, questi piccoli segni sono in realtà invenzioni e convenzioni recentissime: un paio di secoli. Se avevate dei dubbi sul perché sia difficile consultare e studiare un testo di matematica del 1200, o anche del 1600, siete serviti.
 

Numeri e cervello


Anche se non sappiamo se è andata proprio come ho cercato di descrivere nei vari passaggi, un fatto è certo: l’uomo ha imparato a “fare matematica” anche in modo logico-astratto, ben diverso dal “contare numerosità concrete”, dote che, abbiamo visto, condivide con altri animali.
E abbiamo visto che ogni bambino che deve ripercorrere l’iter matematico della sua specie, ha bisogno di molto più tempo di quanto gli serva per padroneggiare abilità verbali e motorie anche raffinate.
Perché fare matematica è difficile.
Per cercare di comprendere il motivo di questa difficoltà, alcuni neurologi e fisiologi hanno studiato le strutture neuronali del cervello umano, e cercato di decodificarne il comportamento, anche con l’ausilio delle più moderne tecniche di “imaging” e soprattutto con lo studio di casi clinici in cui si evidenziano anomalie o impossibilità nell’uso delle nostre strutture nervose implicate nel “far di conto”.
Ne è emerso che le aree corticali del cervello necessarie alla comprensione e all’uso della matematica formalizzata, sono in stretto rapporto con le aree necessarie alla elaborazione del linguaggio simbolico. Sono aree presenti solo nella nostra specie; secondo alcuni paleontologi lo sviluppo di queste aree era già evidente nei nostri predecessori (homo abilis, homo erectus). Le prove di queste affermazioni sono per la verità piuttosto leggere e lacunose, basandosi su pochi calchi di qualche frammento di calotta cranica, ma, dal punto di vista logico-concettuale il discorso tiene. Mentre le specie animali articolano suoni al solo scopo di trasmettere messaggi, solo l’uomo è stato capace di creare un universo simbolico e di esprimerlo. E di questo universo fa parte la matematica.
Le funzioni simboliche, della matematica ma anche del linguaggio, sono profondamente diverse dal semplice riconoscimento di numerosità, o dall’emissione di richiami amorosi o grida di allarme. Anche se per esprimere concetti simbolici abbiamo bisogno degli stessi apparati neuromuscolari e degli stessi organi di fonazione, c’è un netto salto di qualità tra un grugnito o un ululato di un animale in calore, e una lirica di Saffo o un salmo della Bibbia.
Tanti “pensatori” contemporanei non perdono occasione per ricordare, con un entusiasmo quantomeno non indispensabile, che noi uomini condividiamo con le scimmie antropomorfe il 97% del codice genetico.
Facendo loro eco, mi sembra più utile focalizzare la nostra attenzione su quel restante 3% di “speciale” che ci contraddistingue.
Personalmente non ho dubbi che la presenza di specifiche strutture neurali, capaci in qualche modo di aprirci le porte dei significati simbolici astratti, faccia parte di quel prezioso 3%.
 
Dalla neuroanatomia e dalla fisiologia, indagate con le tecniche più sofisticate, si è potuto confermare lo stretto legame funzionale, ma anche la separazione topografica e anatomica tra le aree preposte alle diverse funzioni. La prova più affascinante, per un medico, di quanto ipotizzato, non può venire che dall’esame di pazienti in cui, per qualche motivo, si sia verificata una lesione cerebrale a danno solamente di una delle aree interessate.
Questi casi esistono; sono rari, e soprattutto è difficile che vengano studiati con la necessaria attenzione e nel momento opportuno. (per fortuna infatti il nostro cervello è dotato di spiccata plasticità, e il quadro clinico può modificarsi e migliorare nel giro di pochi giorni).
Sono stati però descritti casi in cui erano conservate le capacità di eseguire le operazioni, ma non quella di comprenderne il significato, come nel maneggiare soldi o fare la spesa. E sono stati osservati anche casi speculari, in cui il paziente era capace di comprendere e risolvere problemi, ma non di eseguire semplici operazioni staccate da un contesto realistico,
A complicare le cose, bisogna anche tener conto del particolare modo in cui certe abilità matematiche vengono insegnate a scuola: le tabelline sono un esempio classico. Dal momento che vengono insegnate, e imparate, pressappoco allo stesso modo di una filastrocca, le tabelline vengono “archiviate” nel cervello in una zona diversa da quelle precedentemente considerate.
Accade pertanto che in alcuni soggetti colpiti da danni cerebrali, vada perduta unicamente la conoscenza delle tabelline; o che, al contrario, qualcuno le ricordi correttamente, senza però sapere a che cosa possano servire. C’è un famoso aneddoto sul grande matematico E. Kummer (1810-93), che con la vecchiaia aveva perso l’uso delle tabelline, ma non la comprensione “vera” della matematica. Dovendo calcolare 9x7, fu sentito ragionare così: “è compreso tra 60 e 70; non può essere pari, non può essere 65 che è multiplo di 5; non può essere né 61 né 67 che sono primi; DEVE essere 63 !”
 
Enrico Delfini Luglio 2008
 

Bibliografia


1- L. R Binford; Preistoria dell’uomo. Rusconi (1990)
2- B. Kurten; Il primo uomo. Laterza (1993)
3- J. L. Arsuaga; I primi pensatori. Feltrinelli (1999)
4- J. Diamond; Armi, acciaio e malattie. Einaudi (1997)
5- C. B. Boyer; Storia della matematica. Oscar saggi (1990)
6- G.G.Joseph; C’era una volta un numero. Il saggiatore (2000)
7- R. Kaplan; Zero. Rizzoli (1999)
8- J. D. Barrow; Da zero a infinito. Mondadori (2001)
9- J.D.Barrow; La luna nel pozzo cosmico. Adelphi (1992)
10-L. Mecacci; Identikit del cervello. Econ. Laterza (1995)
11-R- Clarke; Supercervelli. Bollati Boringhieri (2002)
12-P. Zellini; Gnomon. Adelphi (1999)
13-S. Dehaene; Il pallino della matematica. Oscar saggi (2001)
14-K. Devlin; Il gene della matematica. Longanesi (2002)
15-K. Devlin; L’istinto matematico. Raffaello Cortina (2007)
ma, per chi ha poco tempo, dovendo leggere un solo testo, consiglio caldamente
16- B. Butterworth; Intelligenza matematica. Rizzoli (1999)
 

Numeri e botteghe (di Ernst Jünger)


Fonte: Il cuore avventuroso, Longanesi & C, 1979, pp. 158-159

Anche nel quotidiano ci accompagna un sottile senso delle relazioni simboliche, e sovente descriviamo singolari giri viziosi inseguendo, fra popolazioni straniere e in epoche dissolte nel nulla, le orme di una struttura che in realtà è tutta addensata intorno a noi, e circonda completamente il nostro essere. Passa molto tempo prima che noi comprendiamo quale eccellente arma siano per noi i nostri due occhi, e come il prossimo angolo di strada basti a farci osservare tutte quelle strane cose.
Così l’uomo, quando entra in certe botteghe, per esempio i botteghini di verdura, sente già l’approssimarsi sommesso di un elemento importuno e grossolano, come avviene ovunque nei campi in cui regna la donna. Negozietti di questo tipo, bottegucce di rivenduglioli, qui li si trova in gran quantità nelle vecchie vie, ed è quasi sempre la donna che vende, là dentro. Chi mette piede oltre quelle soglie si sente subito come un estraneo che faccia la sua comparsa. Chi là si avventura, per lo più giunge a disturbare un gruppo di donne immerse in privatissime contrattazioni e faccende simili. Le chiacchiere e le dicerie che nascono in quei luoghi sono il contraltare femminile al giornale e alla politica. Si avverte senz’altro che qui le varie questioni vengono trattate in modo infinitamente più sottile, preciso e riservato che nei colloqui politici. In primo luogo, non c’è traccia di luoghi comuni o di frasi fatte; l’affermazione non mira mai ad affermare un concetto uni versale, ma si rivolge sempre alla persona e al caso specifico. Talvolta si ha modo di scorgere anche il marito della verduraia, sovente con lineamenti e statura da gnomo, addetto a lavori in sottordine. Lo si vede trascinare nello stambugio pesanti sacchi, e gli è affidata anche quella parte degli affari che deve svolgersi all’esterno del locale; così, egli procura la merce, che trasporta da fuori con un carretto. Lo stesso botteghino viene collocato, di preferenza, a livelli bassi rispetto al terreno, negli scantinati, il perimetro delle finestre è molto ridotto, anche la vetrina è per più piccola e angusta, e gli oggetti sono messi lì alla svelta, come su un altare da campo. L’odore dominante è forte odore di terra che vien fuori dai cereali. Si è colpiti dalla funzione davvero minima esercitata in quei luoghi dalla bilancia. È raro che frutta e verdura siano vendute secondo il peso; molto più frequente è che si vendano secondo il numero dei pezzi, o in fasci, reste, mazzi, cespi, oppure secondo misure di capacità. Impera una palese antipatia per il sistema metrico decimale, e si preferisce usare le vecchie misure, la dozzina, la quindicina, la sessantina suddivisa in cinque dozzine. Le misure di capacità vengono indicate con unità divisionali di cui spesso i compratori conoscono a mala pena il nome. Gli utensili di legno prevalgono su quelli di ferro; di rado viene usato il coltello.
 
Quale differenza, invece, quando si entra nelle botteghe dei macellai! Qui la luce cade entrando per finestre grandi e spaziose e si riflette in mattonelle lustre e in attrezzi lucidi e metallici. Tutto è chiaro e splendente, pieno di gioviale allegria radicata indubbiamente in connotati decisa mente maschili. Alla donna tocca il ruolo subordinato; ella serve al banco, prende il denaro dalle mani dei clienti, e tutt’al più usa un coltellino con cui separa le salsicce l’una dall’altra. Il locale è dominato dalla figura del padrone, il quale sta in piedi dietro il ceppo della macelleria, indossando il suo grembiule macchiettato da spruzzi di sangue, e divide l’uno dall’altro, spaccando le carcasse con l’ascia, i grandi pezzi di carne che già prima, insieme con i suoi colleghi e garzoni, egli ha squadrato nel mattatoio. Nei confronti della clientela si compiono spesso atti quasi di violenza: senza far troppe domande, si arrotonda il peso in eccesso, e nella quantità di carne acquistata vengono gettate pesanti porzioni d’osso. Del resto, nelle macellerie si trovano sempre eccellenti bilance tarate secondo il sistema decimale. Se in una bottega di questo tipo muore il padrone, la moglie la deve vendere, oppure subentra il socio.
 
Ernst Jünger